Nadie sabe calcular cuántas soluciones racionales tiene una curva elíptica. La conjetura dice que la respuesta está escondida en una función analítica.
Una curva elíptica sobre los racionales es una ecuación y² = x³ + ax + b sin puntos singulares. Sus soluciones racionales, más un punto en el infinito, forman un grupo: dados dos puntos, la recta que los une corta la curva en un tercero, y ese tercero también es racional.
El teorema de Mordell de 1922 dice que ese grupo es finitamente generado: hay una parte de torsión, finita y fácil de calcular, y un número entero r —el rango— que cuenta cuántos puntos independientes de orden infinito hacen falta para generarlo todo. Nadie sabe calcular r en general, ni siquiera decidir si es cero.
Por otro lado, a cada curva se le asocia una función analítica L(E, s) construida contando puntos módulo cada primo. La conjetura dice que el orden del cero de L(E, s) en s = 1 es exactamente el rango. Hay además una versión refinada que predice el valor del primer coeficiente no nulo en términos de invariantes aritméticos de la curva.
Bryan Birch y Peter Swinnerton-Dyer hicieron a principios de los sesenta lo único que se podía hacer con un problema del que no se sabía nada: contar. Programaron el EDSAC 2 de Cambridge para calcular, para cada primo p, el número Np de soluciones de la curva módulo p, y miraron cómo se comportaba el producto Π Np/p.
La intuición es directa: si la curva tiene muchos puntos racionales, debería tener muchos puntos módulo cada primo, y el producto debería crecer. Eso es exactamente lo que vieron. Al graficarlo en escala logarítmica contra log X, la pendiente parecía ser el rango.
La figura de esta página reproduce ese experimento con dos curvas concretas, calculando los conteos en el navegador. La de rango positivo despega; la de rango cero se queda plana. Es literalmente lo que ellos vieron en una pantalla de fósforo hace sesenta años.
Primero hubo que asegurarse de que la función existe. La L de una curva elíptica sólo converge para Re(s) > 3/2; hablar de su valor en s = 1 exige extenderla analíticamente, y eso no se sabía hacer. Se resolvió con la modularidad: Wiles y Taylor-Wiles en 1995 para el caso semiestable —el trabajo que cerró el último teorema de Fermat— y Breuil, Conrad, Diamond y Taylor en 2001 para todas las curvas.
1977 — Coates y Wiles demuestran que si una curva con multiplicación compleja tiene rango positivo, entonces L(E,1) = 0. Es la primera dirección probada.
1986 — Gross y Zagier relacionan la derivada L'(E,1) con la altura de un punto de Heegner. 1988-1990 — Kolyvagin introduce los sistemas de Euler y, combinado con lo anterior, se obtiene el resultado que sigue siendo el estado del arte: si el orden del cero es 0 o 1, la conjetura es cierta. De ahí para arriba, nada.
La estadística sí se ha movido. Manjul Bhargava y sus colaboradores demostraron, contando curvas elípticas ordenadas por altura, que una proporción positiva y mayoritaria de ellas satisface la conjetura —del orden de dos tercios—. No dice nada de una curva concreta, pero establece que el fenómeno es la regla y no la excepción.
El obstáculo principal es el grupo de Tate-Shafarevich, que mide cuántas soluciones «locales» no provienen de soluciones racionales. La versión refinada de la conjetura lo incluye explícitamente, y ni siquiera se sabe demostrar que sea finito en general.